Պյութագորասի թեորեմը

1)Գտեք AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա)AB=10սմ, BC=DA=13սմ, CD=20սմ

169-25=144

12

բ)<C=<D=60^o, AB=BC=8սմ

48√3

գ)<C=<D=45^o, AB=6 սմ, BC=9√2սմ

135

2)Պարզեք, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․

6, 8, 10 այո

5, 6, 7 ոչ

11, 9, 13 ոչ

15, 20, 25 այո

3)Որոշեք եռանկյան անկյունները, եթե նրա կողմերն են՝

ա)1, 1, √2

45 45 90

բ)1, √3, 2

30 60 90

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 9սմ և 18սմ են, իսկ մեծ սրունքը՝ 15սմ։ Գտեք սեղանի մակերեսը։

162

2)Պարզեք, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․

9, 12, 15 ոչ

10, 24, 26 այո

3, 4, 6 ոչ

Խնդիրներ մակերեսների վերաբերյալ

1)Տրված է ABCD զուգահեռագիծ, BH = 8 սմ, ըստ գծագրի տվյալների գտնել BK-ն։

2)Տրված է ABCD զուգահեռագիծ, ըստ գծագրի տվյալների գտնել զուգահեռագծի մակերեսը։

6:2=3
3×8=24

3)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

A>=45
4×4:2=8

4)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

A>=30
9:2=4,5
4,5×12=54
54:2=27

5)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

6)Տրված է ABCD սեղան, BC:AD=2:3, BK=6 սմ, S_ABCD = 60սմ²: Գտնել BC-ն և AD-ն։

7)Տրված է ABC եռանկյուն, ըստ գծագրի տվյալների գտնել եռանկյան մակերեսը։

8)Տրված է ABCD սեղան, ըստ գծագրի տվյալների գտնել սեղանի մակերեսը։

Եռանկյան մակերեսը

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

1)

1/2

2)

8×2:2=8

3)

4)

5)

Եռանկյան մակերեսը

Եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին:

Դիտարկենք ABC եռանկյունը, որում տարված է BH բարձրությունը:

S=1/2AC⋅BH

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա էջերի արտադրյալի կեսին։

Եթե երկու եռանկյունների բարձությունները հավասար են,ապա նրանց մակերեսները հարաբերում են ինչպես հիմքերը։

Առաջադրանքներ․

1)

A)S=7×11:2=38,5
B)h=2s:a
2×37.8:14=5,4
G)A=2h=4

2)

3)

4)

5)

Զուգահեռագծի և շեղանկյան մակերեսը

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

3×4:2
AD=6

2)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ² է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։

<A =30
180-30=150
<B=150

3)Քառակուսին և քառակուսի չհանդիսացող շեղանկյունն ունեն հավասար պարագծեր։ Համեմատեք այդ պատկերների մակերեսները։

քառակուսու մակերեսը ավելի մեծ է

4)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ² է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սկսած սուր անկյան գագաթից։

<А=<C=45o
<B=<D=135o

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Համեմատեք ուղղանկյան և զուգահեռագծի մակերեսները, եթե նրանք ունեն հավասար հիմքեր և հավասար պարագծեր։

2)ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ <ECD = 60^o, <CED = 90^o, AB = 4 սմ, AD = 10 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

3)MPKT զուգահեռագծի MT կողմի վրա նշված է E կետը, <PEM = 90^o , <EPT = 45^o , ME = 4 սմ, ET = 7 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

Քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսը

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

Քառակուսու պարագիծը 32 սմ է, իսկ ուղղանկյան կողմերից մեկը՝ 45 սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մյուս կողմը, եթե հայտնի է, որ նրա և քառակուսու մակերեսները հավասար են։

32:4=8

64:45=1.4

65/45

Տրված է ABCD քառակուսին։ AD ճառագայթի վրա վերցված է M կետն այնպես, որ <AMB=30^o, և BM=20 սմ։ Գտեք այդ քառակուսու մակերեսը։

100

Անհրաժեշտ է սենյակի՝ 5,5 մ և 6 մ կողմերով ուղղանկյունաձև հատակը ծածկել մանրահատակով։ Դրա համար քանի՞ մանրահատակ կպահանջվի, եթե այդ տախտակներից յուրաքանչյուրն ունի 30 սմ երկարությամբ և 5 սմ լայնությամբ ուղղանկյան ձև։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

ABCD ուղղանկյան A անկյան կիսորդը BC կողմը հատում է K կետում։Հայտնի է, որ BK=5սմ , KC=7սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը։

15 սմ կողմով քառակուսաձև քանի՞ սալիկ կպահանջվի, որպեսզի երեսպատվի 3մ և 2,7մ կողմերով ուղղանկյունաձև պատը։

Մակերես Քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսը

Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի արտադրյալին: Քառակուսու բոլոր կողմերը իրար հավասար են, այդ իսկ պատճառով նրա մակերեսը հավասար է նրա կողի քառակուսուն:

Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի արտադրյալին:

Մակերեսները չափելու համար օգտվում են նրանց հիմնական հատկություններից:

1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:

2. Եթե պատկերը կազմված է մի քանի մասերից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ մասերի մակերեսների գումարին:

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է՝

ա)1,2 սմ

1,2 . 1,2=1,44

բ)3/4 դմ

3/4 . 3/4=9/16

գ)3ամբ․1/3 մ

2)Ինչպե՞ս կփոխվի քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմերը՝

ա)մեծացվեն 3 անգամ

բ)փոքրացվեն 2 անգամ

3)Ուղղանկյան կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4:3, իսկ նրա պարագիծը 28 սմ է։ Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Որոշեք այն քառակուսու կողմը, որի մակերեսը հավասար է՝

ա)16 սմ²

բ)25 սմ²

գ)2,25 սմ²

2)Դիցուք՝ ուղղանկյան կից կողմերն են a-ն b-ն, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝

ա)S-ը, եթե a=8,5 սմ, b=3,2 սմ

բ)S-ը a=2/3 սմ, b=1,2սմ

գ)b- ն, եթե a=32 սմ, S=684 սմ²

դ)a-ն, եթե b=4,5 դմ, S=1215 սմ²

3)Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 96 սմ²։ Գտեք այդ ուղղանկյան պարագիծը։

Երկրաչափություն

Կանոնավոր կոչվում են այն ուռուցիկ բազմանկյունները, որոնց բոլոր կողմերը և անկյունները հավասար են:

Նկարում բերված են կանոնավոր բազմանկյունների օրինակներ՝ եռանկյուն (հավասարակողմ), քառանկյուն (քառակուսի), հնգանկյուն, վեցանկյուն:

Քանի որ, կանոնավոր n-անկյան բոլոր անկյունները հավասար են, ապա դրանցից մեկի աստիճանային չափը կլինի` 

Կանոնավոր բազմանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերը․

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյանը կարելի է ներգծել և արտագծել շրջանագծեր: Երկու շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են և կոչվում են կանոնավոր բազմանկյան կենտրոն:

Ներգծյալ շրջանագիծը շոշափում է բազմանկյան բոլոր կողմերը նրանց միջնակետերում, արտագծյալ շրջանագիծը անցնում է բազմանկյան բոլոր գագաթներով:

Առաջադրանքներ․

1)Գտեք կանոնավոր n-անկյան անկյունները, եթե՝

n=3

3-2=1
180:3=60

n=5
5-2=3
3×180=540
540:5=108

n=18
18-2=16
16×180=2880|
2880:18=16

2)Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է՝ 60^o, 150^o։u

3)Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր ներգծյալ բազմանկյունը, եթե արտագծյալ շրջանագծի աղեղը, որ ձգվում է նրա կողմով, հավասար է՝ 60^o, 18^o, 72^o։

4)Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե արտաքին անկյուններից յուրաքանչյուրը հավասար է՝ 36^o, 24^o:

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Գտեք կանոնավոր n-անկյան անկյունները, եթե՝

n=6
6-2=4
4×180=

n=10

n=4

2)Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է՝ 90^o, 135^o:

3)Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր ներգծյալ բազմանկյունը, եթե արտագծյալ շրջանագծի աղեղը, որ ձգվում է նրա կողմով, հավասար է՝ 30^o, 90^o, 36^o :

Երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը

Հարթության մեջ երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը կախված է՝

• նրանց կենտրոնների դասավորությունից, 
• նրանց շառավիղների երկարություններից: 

Հնարավոր է երեք դեպք:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են՝ ունեն երկու ընդհանուր կետ:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են՝ ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Դիտարկենք հնարավոր դեպքերը:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են. ունեն երկու ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների գումարից:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են. ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում հնարավոր են հետևյալ դեպքերը՝

• արտաքին շոշափում,
• ներքին շոշափում:

Արտաքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների գումարին:

Ներքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների տարբերությանը:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Այս դեպքում ևս հնարավոր է երկու դեպք:

• Երկու շրջանագծերով սահմանափակված շրջանները չեն հատվում:
• Փոքր շառավղով շրջանը ընկած է մեծ շառավղով շրջանի մեջ:

Առաջին տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը մեծ է շառավիղների գումարից:

Երկրորդ տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների տարբերությունից:

Առաջադրանքներ․

1)Տրված են երկու շրջանագծեր, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

r1-ը և r2-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են:

Ընտրիր ճիշտ պնդումը:

• OB>r₁+r₂
• r₁+r₂=OB
• r₁+r₂>OB

2)Տրված են հետևյալ երկու շրջանագծերը, որոնք ընդհանուր կետեր չունեն:

r₁-ը և r₂-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են:

Ընտրիր ճիշտ պնդումը:

• r₁−r₂=AC
• AC<r₁−r₂
• AC=r₁+r₂

3)Գտիր ED-ն, եթե AC= 4 սմ, իսկ շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը 5 սմ է: 

5-4=1
ED=1

4)Գծիր տրված O և B կենտրոններով մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանագծեր, որոնց շառավիղները հավասար են՝ r₁=28 սմ և r₂=10 սմ:

r1=28
r2=10
28+10=38

Հաշվիր OB հեռավորությունը:

Քառանկյան ներգծյալ և արտա գծյալ շրջանագիծ

1)Շրջանագծին ներգծած է ABCD քառանկյունը, որի մեջ <A=104^o և <B=71^o։ Գտեք անկյուններ C-ն և D-ն։

2)Արդյոք կարելի՞ է տրված ABCD քառանկյանը արտագծել շրջանագիծ, եթե՝

ա)<A=64^o, <B=95^o, <C=106^o
Ոչ

բ)<A=72^o, <B=69^o, <D=111^o
Այո

գ)<A=90^o, <C=90^o, <D=80^o
Այո

դ)<A=2α, <B=5α^o, <C=7α^o ,<D=4α
2a+5a+7a+4a=360
18a=360
a=20^o
<A40^o
<B100^o
<C140^o
<D80^o

Այո

3)

<M=180-53=127^o
<N=180-75=105^o

4)Տրված է MK+EF=40: P_MEFK -?

40+40=80

5)Տրված է NE=MF:  EF+MN -?