Ուղղանկյուն եռանկյուններ

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

1. <BA=10
<CA=10
<BC=5

2.<DCB=45º
<CD=8
<DB=8
8+8=16
<ADB=16

4. CD=AD/2=><CAD=30º
Եռ. ABD հավասարասրուն=><A=60º

5.

Խնդիրներ կրկնության համար

1)<ABC=140^o : BD-ն նրա կիսորդն է, իսկ BE-ն՝ <DBC-ի: Ինչի՞ են հավասար <ABD-ն, <DBE-ն,<EBC-ն, <ABE-ն։

140^o:2=70
70:2=35

<ABD=70^o

<DBE=35^o

<EBC=35^o

<ABE=105^o

2)BD ճառագայթը ABC անկյունը բաժանում է երկու անկյունների, որոնցից մեկը 17^o -ով մեծ է մյուսից։Գտեք այդ անկյունները,եթե <ABC=77^o :

<ABD=47

<DBC=30

3)BD ճառագայթը ABC անկյունը բաժանում է երկու անկյունների, որոնցից մեկը 3 անգամ մեծ է մյուսից։Գտեք այդ անկյունները,եթե <ABC=120^o :

120:4=30
3×30=90

<ABD=30^o

<DBC=90^o

4)Կից անկյուններից մեկը 2 անգամ փոքր է մյուսից։Գտեք այդ անկյունները։

x+2x=180^o
3x=180^o

x=60

2×60=120^o

Տնային աշխատանք․

1)BD ճառագայթը ABC անկյունը բաժանում է երկու անկյունների, որոնցից մեկը 23^o -ով փոքր է մյուսից։ Գտեք այդ անկյունները, եթե <ABC=155^o :

(155-23):2=

66

66+23=89

2)Կից անկյուններից մեկը 20^o -ով փոքր է մյուսից։ Գտեք այդ անկյունները։

(180-20):2=80

80+20=100

Կրկնություն: Եռանկյունների հավասարության երկրորդ և երրորդ հայտանիշները

1.
AC=CE
BC=CD
<ACB=<DCE

Ըստ 1-ին հայտանիշից

2.


AC=CD
AB=BD
BC ընդհանուր կողմ

Ըստ 3-րդ հայտանիշից

3.
NP=PQ
<N=<Q
<NPM=<QPR


Ըստ 2-րդ հայտանիշից

4.
BK ընդհանուր կողմ
FK=KE
Ըստ 2-րդ հայտանիշից

5.
AB=CD
<BAD=<CDA
AD Ընդհանուր կողմ
Ըստ 1-ին հայտանիշից

6.
AB=BD
<A=<D
<ABC=<EBD
Ըստ 2-րդ հայտանիշից

7.
ԼK=MN
LN ընդհանուր կողմ
Ըստ 3-րդ հայտանիշից

Ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունները․

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 90°-ի: 

Եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, իսկ ուղիղ անկյանը՝ 90°-ի: Հետևաբար, երկու սուր անկյունների գումարը հավասար է՝ ∡1+∡2=90°

Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է 30°-ի դիմացի էջից):

Դիտարկենք ABC ուղղանկյուն եռանկյունը, որում ∡A-ն ուղիղ անկյունն է, ∡B=30° և ուրեմն՝ ∡C=60°

Ապացուցենք, որ BC=2AC

ABC եռանկյանը կցենք նրան հավասար ABD եռանկյունը, ինչպես ցույց է տրված վերևի գծագրում:

Ստանում ենք BCD եռանկյունը, որում ∡B=∡D=60°, ուստի՝ DC=BC: Բայց DC=2AC, հետևաբար, BC=2AC

Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը:

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (կամ ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է էջից), ապա այդ էջի դիմացի անկյունը 30° է:

Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները․

Քանի որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան էջերի կազմած անկյունը ուղիղ է, իսկ բոլոր ուղիղ անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունների հավասարության ընդհանուր հայտանիշների միջոցով ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ:

1. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:  

2. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր անկյունը հավասար են համապատասխանաբար մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա եռանկյունները հավասար են: 

3. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին և սուր անկյանը, ապա եռանկյունները հավասար են:  

4. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու էջը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա եռանկյունները հավասար են:

Առաջադրանքներ․

1․

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են O կետում:

Տրված է, որ ∡A=50°, ∡B=53°

Որոշիր ∡AOB-ն:

2.

ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ ∡B=30°-ի: Որոշիր AC հիմքի և սրունքին տարված AM բարձրության կազմած անկյունը:

3.

L

K T R

KLR եռանկյան մեջ տարված է LT բարձրությունը:

Հայտնի է, որ ∡LKR=39°-ի և ∡KLR=119°-ի:

Որոշիր TLR եռանկյան անկյունները:

∡LTR=

∡TLR=

∡LRT=

Տնային աշխատանք․

1․Տրված է DEF ուղղանկյուն եռանկյունը:

E

D F

Որոշիր ∡F-ը, եթե ∡E=21°-ի:

∡F=69^0

2․Տրված է DEK ուղղանկյուն եռանկյունը և նրա ∡K անկյան արտաքին անկյունը:Որոշիր եռանկյան սուր անկյունների մեծությունները, եթե ∡EKR=165°-ի:

E

D K R

∡DKE+∡EKR=180^0

∡DKE=180-165=15^0

∡E=90-15=75^0

Երկրաչափություն

Ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունները․

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 90°-ի: 

Եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, իսկ ուղիղ անկյանը՝ 90°-ի: Հետևաբար, երկու սուր անկյունների գումարը հավասար է՝ ∡1+∡2=90°

Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է 30°-ի դիմացի էջից):

Դիտարկենք ABC ուղղանկյուն եռանկյունը, որում ∡A-ն ուղիղ անկյունն է, ∡B=30° և ուրեմն՝ ∡C=60°

Рекламаabout:blankПОЖАЛОВАТЬСЯ НА ЭТО ОБЪЯВЛЕНИЕ

Ապացուցենք, որ BC=2AC

ABC եռանկյանը կցենք նրան հավասար ABD եռանկյունը, ինչպես ցույց է տրված վերևի գծագրում:

Ստանում ենք BCD եռանկյունը, որում ∡B=∡D=60°, ուստի՝ DC=BC: Բայց DC=2AC, հետևաբար, BC=2AC

Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը:

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (կամ ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է էջից), ապա այդ էջի դիմացի անկյունը 30° է:

Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները․

Քանի որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան էջերի կազմած անկյունը ուղիղ է, իսկ բոլոր ուղիղ անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունների հավասարության ընդհանուր հայտանիշների միջոցով ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ:

1. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

2. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր անկյունը հավասար են համապատասխանաբար մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա եռանկյունները հավասար են: 

3. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին և սուր անկյանը, ապա եռանկյունները հավասար են:  

4. Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու էջը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա եռանկյունները հավասար են:

Առաջադրանքներ․

1․

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են O կետում:

Տրված է, որ ∡A=50°, ∡B=53°

Որոշիր ∡AOB-ն:

∡BAE=90-∡B=90-53°=37

∡OAD=∡A-∡BAE

2.

ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ ∡B=30°-ի: Որոշիր AC հիմքի և սրունքին տարված AM բարձրության կազմած անկյունը:

3.

L

K T R

KLR եռանկյան մեջ տարված է LT բարձրությունը:

Հայտնի է, որ ∡LKR=39°-ի և ∡KLR=119°-ի:

Որոշիր TLR եռանկյան անկյունները:

∡LTR=

∡TLR=

∡LRT=

Տնային աշխատանք․

1․Տրված է DEF ուղղանկյուն եռանկյունը:

E

D F

Որոշիր ∡F-ը, եթե ∡E=21°-ի:

2․Տրված է DEK ուղղանկյուն եռանկյունը և նրա ∡K անկյան արտաքին անկյունը:Որոշիր եռանկյան սուր անկյունների մեծությունները, եթե ∡EKR=165°-ի:

E

Երկու ուղիղների զուգահեռության հայտանիշները

Առաջադրանքներ․

1.

Հայտնի է, որ՝

DB=BC, DB∥MC, ∡BCM=142°

Գտիր∡1 անկյան մեծությունը:

=71

2.Խնդիր 220,221,227

Տնային աշխատանք․

Կից անկյուն

Կից կոչվում են այն երկու անկյունները, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուսները լրացուցիչ ճառագայթներ են, այսինքն՝ մեկը մյուսի շարունակությունն են կազմում։ Կից անկյունների մեծությունների գումարը 180 է:

Geogebra-ով գծագրեր

Երկրաչափություն ինքնաստուգում

1. Գտիր, թե ո՞ր պնդումներն են համապատասխանում C∉p գրառմանը.

1 балл

C կետը գտնվում է p ուղղի վրա

p ուղիղը անցնում է C կետով

p ուղիղը չի անցնում C կետով

C ուղիղն անցնում է p կետով

C կետը p ուղղի կետ է

C կետը չի գտնվում p ուղղի վրա

2. Եթե հարթության վրա երկու ուղիղ զուգահեռ են, ապա դրանք չեն հատվում:

Ընտրիր՝ պնդումը ճի՞շտ է, թե՞ ոչ:

1 балл

ոչ

այո

Отменить выбор

3.  Հակադիր անկյունների գումարը միշտ հավասար է 360°-ի:

ճիշտ է

սխալ է

Отменить выбор

4. Միջնակետ անվանում են հատվածի այն կետը.

որը հատվածը սահմանափակում է ուղղի վրա:

որից դուրս է գալիս կիսորդը:

որը հատվածը բաժանում է երկու հավասար մասերի:

Отменить выбор

5. Քանի՞ հատված կա հետևյալ նկարում:

9

6. Գտիր ∢CBD-ն, եթե ∢ABC=37° և ∢ABD=90°.

7. Գտիր ∢CBD -ն, եթե∢ ABC=128°

180-128=52^0